直感操作で「ジュリア集合」を描くフラクタルアプリ。マウス操作で万華鏡のように変化

ジュリア集合を描こう

ジュリア集合を生成するシミュレーターです。

上で紹介したのは、万華鏡のように形を変える「ジュリア集合」を探索できるアプリです。

数式（複素数 $c$ ）のパラメータをいじるのが難しい方でも、直感的に遊べるように工夫しました。

✨ 主な機能と遊び方

マウス追従でリアルタイム変化

「マウス追従」をONにして画面上でカーソルを動かすと、その位置に合わせてパラメータが自動で変化！図形がウネウネとリアルタイムに形を変えていきます。
クリックで固定＆無限ズーム

「おっ、今の形きれい！」と思ったら、そのまま左クリック。形が固定されます。固定された状態でさらに左クリックすると拡大、右クリックで縮小ができ、無限に続くフラクタルの奥深くへと潜り込むことができます。
多彩なカラーバリエーション

配色は「グレースケール」「クラシック」「ファイア」「オーシャン」の4種類をご用意。同じ図形でも、色を変えるだけで全く違うアートに生まれ変わります。
画像保存機能

気に入った模様が見つかったら「画像を保存」ボタンをポチッとするだけ。自分だけのオリジナル・フラクタル画像をPNG形式でダウンロードできます。

ジュリア集合について、少し解説しておきましょう。

数学が苦手な方は読み飛ばしてください。

ジュリア集合は、以前に解説したマンデルブロ集合と似ています。

その基礎となる最も代表的な数式は、以下の非常にシンプルな数式です。

z_{n+1} = z_n^2 + c

ここで登場する変数は、すべて複素数（実数と虚数を組み合わせた数）です。

$c$ ：あらかじめ決めておく定数です。この $c$ の値を何にするか（例えば $c = -0.8 + 0.156i$ など）によって、ジュリア集合の形が万華鏡のように全く異なるものに変化します。
$z_n$ ：計算のステップを表す変数です。
$z_0$ ：初期値であり、画面（複素数平面）上の各ピクセルの座標を表します。

マンデルブロ集合では、$c$を画面上の各ピクセルの座標として、 $z_0$

ジュリア集合を描画するには、画面上のすべての点（ピクセル）の座標を $z_0$ として、上記の式を何度も繰り返し計算します。

この計算を繰り返したとき、点 $z_0$ の運命は以下の2つに分かれます。

発散する（無限の彼方へ飛んでいく）

計算を繰り返すうちに、値の大きさ（絶対値 $|z_n|$ ）がどんどん大きくなり、無限大に発散してしまう場合です。一般的に、 $|z_n| > 2$ になると、その後は必ず無限大へ発散することが数学的に証明されています。
発散しない（ある範囲にとどまる）

何度計算を繰り返しても、値が無限大にならず、一定の範囲内（原点を中心とする半径2の円の中）をウロウロし続ける場合です。

発散する場合と発散しない場合で色を塗り分け、さらに、発散する速度の違いでもグラデーションを付けると、冒頭のようなジュリア集合を描くことができます。