中学一年生からできる「1=2を導く?」




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1=2を導く


 中学校1年生の数学で習う方程式†1を使い、1=2を導いてみましょう。

†1 :本当は、ここで使われているのは方程式ではなく恒等式です。恒等式は高校で習うのですが、ここでの話は方程式を習った中学生に理解できる話になっています。

$a=b$  ($a,b$はともに文字で、$a$$b$が等しいとした)
$a+a=b+a$  (両辺に$a$を足した)
$2a=b+a$
$2a-2b=b+a-2b$  (両辺から$2b$を引いた)
$2a-2b=a-b$
$2(a-b)=(a-b)$  (左辺を式変形、右辺はカッコに入れただけ)
$2=1$  (両辺を$a-b$で割った)

 こうして、1=2が導かれました。何故こんなことになったのかと言うと、この計算には一か所だけ明確な間違いがあるからです。どこが間違っているのか探してみてください。

 分からない方は、1=2が正しいものとして日常生活を過ごさなければいけません。




 答えは下に書きます。じっくり考えた後でお読みください。一つだけヒントを出すと、一番上の$a=b$という式は間違いではありません。他の部分で、やってはいけないことをやってしまっています。










答え合わせ


 間違いは、下から二行目の、

$2=1$  (両辺を$a-b$で割った)

という部分です。

 なぜこの部分が間違いかというと、$a-b$がゼロだからです。両辺をゼロで割ったため、結果がありえないことになったのです。




 ちなみに、なぜ$a-b$がゼロになるかと言うと、

$a=b$
$a-b=b-b$  (両辺から$b$を引いた)
$a-b=0$

となって、$a-b=0$であることが分かります。




 この話は、私たちに一つの教訓を与えてくれます。すなわち、ある数字をゼロで割るというのは数学の世界ではやってはいけないこと、だということです。ある数字をゼロで割ると、数学の世界がおかしくなってしまうのです。




 なお、アンサイクロペディアに1=2の証明が大量に書いてありました。とても面白いので、ぜひ読んでみてください。





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