極座標のグラフ




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目次



極座標ギャラリー


 極座標で描いた、花のような模様を載せておきます。




$r=cos(3\theta)$



$r=cos(10\theta)$



$r=cos^2(\theta)$



$r=cos^2(3\theta)$



$r=sin(2\theta)+cos(2\theta)$



$r=sin^3(2\theta)+cos^3(2\theta)$



$r=sin^2(3\theta)+cos^3(6\theta)$



$r=sin(30\theta)-cos(3\theta)$



$r=sin^2(4\theta)+sin^4(2\theta)+cos^4(4\theta)+cos^6(2\theta)$



$r=sin^2(100\theta)+sin^2(50\theta)+cos^2(10\theta)$


 動画もご覧ください。

極座標の花




極座標とは


 グラフと言えば、横軸に$x$,縦軸に$y$をとった直交座標系を思い浮かべる方が多いでしょう。ここでは直交座標系ではなく、極座標という新たな座標系を考え、面白い図形を描いてみましょう。




 極座標系というのは、

極座標の図

のようにある点の座標を、原点からの距離(動径)$r$と、$x$軸からの角度$\theta(rad)$で表す座標系です。

 図の点$P$の座標は、直交座標系では$(x_p,y_p)$と表せます。一方で極座標を用いれば$(r_p,\theta_p)$と表すことができます。




 なお、このページの内容では使いませんが、$(x_p,y_p)$$(r_p,\theta_p)$には

$x_p=r_p\times{cos\theta_p} , y_p=r_p\times{sin\theta_p}$

という関係があります。




 さて、この極座標について、

$r=f(\theta)$

という式を考えてみましょう。この式は、動径$r$が角度$\theta$によって決まるということを表しています。例えば、

$r=cos\theta$

という式について考えてみましょう。




 この式で、$\theta=0$とすると$r=1$です。$\theta=\frac{\pi}{4}$ならば$r=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\theta=\frac{\pi}{2}$のときは$r=0$です。また、$\theta=\pi$$r=-1$となります。このように、角度を決めると動径も定まります。octaveで、様々な角度について$r$を計算していき、グラフにすると下図のようになります。

r=cosθ

 先ほどの$\theta=0$$r=1$$\theta=\frac{\pi}{2}$$r=0$といった値が反映されているのが分かるでしょうか。




 ところで、グラフの左側には何も描かれていません。これは、$\theta=\pi$$r=-1$となったように、$cos\theta$の値が第2,第3象限で負になることに関係しています。

 動径に付いたマイナスは、原点に対し、その動径の符号をプラスにしたものを点対称移動させることを意味しています。例えば、$(\theta=\pi,r=-1)$は、$(\theta=\pi,r=1)$を原点に対して折り返すので、$(\theta=0,r=1)$と同じ位置になります。

原点に対する折り返し

 $cos$は、角度が第2,第3象限で値が負になります。なので、第2,第3象限の動径は第1,第4象限に折り返され、左半分には何も描かれないのです。




 このように、

$r=f(\theta)$

の右辺に色々な$\theta$の式を当てはめ、octaveで図を描いたのが、冒頭の動画と図形です。


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